[{"content":"历史起源 傅立叶在研究热传导方程时提出的思路，用三角函数级数表示任意周期函数\n傅立叶级数推导 F.S.（Fourier Series）\n概括：傅立叶级数就是用三角函数系表示周期函数的一种方法\n三角函数系（1，cosx，sinx）的正交完备性：（周期内）\n正交性：除自己，点乘为0 完备性：可以表示所有函数 函数点乘：在一定区间上乘积的积分； 从一般向量内积类比，对应维度的数相乘，最后相加。函数可以看作无穷维的向量，每个点的乘积再求和。因为点的无穷小的特性，求和也就变成了积分。\n$$ f(x) = \\frac{a_0}{2}+\\Sigma^{\\infin}_{n=1}a_n\\cos{\\omega_nx}+b_n\\sin{\\omega_nx} $$系数计算：\n从正交性出发，欲求$a_i$便将等式两边同时在一定区间点乘对应的函数项\n即为$\\int_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}f(x)\\cos{\\omega_nx}\\ \\mathrm{d}x=a_n\\int_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}\\cos^2{\\omega_nx}\\ \\mathrm{d}x$\n同时，有这个关系 $$ \\omega_n=n\\omega_0\\\\ T = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} $$ 求得$a_n$ $$ a_n=\\frac{\\int_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}f(x)\\cos{\\omega_nx}\\ \\mathrm{d}x}{\\int_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}\\cos^2{\\omega_nx}\\ \\mathrm{d}x}=\\frac{2}{T}\\int_{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}f(x)\\cos{\\omega_nx}\\ \\mathrm{d}x $$ $b_n$同理（实际上同周期的两个三角函数系只是经过相位平移的相同波形，通过辅助角公式可以化为一个周期函数$A\\cos{(\\omega x+\\phi)}$，a和b两个参数去描述这个周期函数，对应了此合并过函数的幅度和相位）\n傅立叶级数的推广 概括：在复数域对周期函数进行表示\n复数域在实数域上多了一根虚轴，因此如需几何形象化表示函数，加上函数的（单）自变量（t or x），需要三个轴，即在三维空间表示复数域的函数。\n对于此空间中的基底，是以不同角速度旋转的单位向量，即$e^{jn\\omega_0 t}$\n此时的完备正交函数系就是**$e^{jn\\omega_0 t} \\ n\\in \\mathrm{Z}$**（无需0处的额外处理）\n如此，有了拓展后的傅立叶级数 $$ f(t) = \\Sigma_{n=-\\infty}^{\\infty}c_ne^{jn\\omega_0t} $$ 系数计算： $$ \\int _{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}f(t)\\cdot e^{-jn\\omega_0t}=T\\cdot c_n\\\\ c_n=\\frac{1}{T}\\int _{-\\frac{T}{2}}^{\\frac{T}{2}}f(t)\\cdot e^{-jn\\omega_0t} $$与实数形式的联系 根据欧拉公式： $$ \\cos x = \\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\\\\\sin x = \\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} $$$$ f(x) = \\frac{a_0}{2}+\\Sigma \\frac{a_n}{2}(e^{ix}+e^{-ix})+\\frac{b_n}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\\\\ f(x) = \\frac{a_0}{2}+\\Sigma \\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{ix}+\\frac{1}{2}(a_n+ib_b)e^{-ix} $$两式系数可一一对应，同时可以注意到，n绝对值相同的复数基底互为共轭，相加成对抵消了虚数部分，因此导出了函数为实数的结论。由此可以看出，实数域*F.S.*只是复数域的一种特殊情况。\n傅立叶变换的推导 F.T.（Fourier Transform）\n概括：和傅立叶级数形式类似的、有些渊源的积分变换\n由头：非周期函数能否看成周期无限大的一种另类的周期函数，来用傅立叶级数去表示呢？\n将这种想法写出数学表达式： $$ f(t) = \\lim_{T \\to \\infty \\ \\omega_0 \\to 0}\\Sigma_{n=-\\infty}^{\\infty}c_ne^{jn\\omega_0t} \\\\f(t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty}F(j\\omega)e^{j\\omega t}\\mathrm{d}\\omega $$傅立叶变换性质 ……\n","date":"2026-03-22T01:57:15+08:00","image":"https://picr2.060216.xyz/1774873310673_Firefox_2026-03-30_20.21.31.webp","permalink":"/p/my-first-post/","title":"从零开始推导傅立叶变换"},{"content":"1. 下载软件 ZeroTier下载地址 点击下载地址，根据自己操作系统下载对应版本。\n2. 加入网络（已加入请跳过） 以windows为例 打开 PowerShell（管理员模式），复制并运行：\n1 zerotier-cli join \u0026lt;你的16位网络ID\u0026gt; 3. 奔向月球（解决 400ms 延迟的核心） 这一步是告诉你的 ZeroTier：“别去国外绕路，直接走成都阿里云中转。” 在同一个窗口继续运行：\n1 2 # 注意：后面的 Moon ID 必须连写两次 zerotier-cli orbit \u0026lt;Moon ID\u0026gt; \u0026lt;Moon ID\u0026gt; 4. 检查是否“上天”成功 输入以下命令验证：\n1 zerotier-cli listpeers 验收标准：\n找到对应服务器的Moon ID 这一行。 后面 Role 显示的是 MOON。 延迟（Latency）在 30-60ms 之间。 ","date":"2026-03-20T18:16:33+08:00","image":"https://picr2.060216.xyz/3297359d3aac4dabaa77df2104339369.webp","permalink":"/p/zerotier/","title":"ZeroTier 操作指南"},{"content":"正文从这里开始。\n一级标题 正常写 Markdown 就行。\n列表 引用 代码块 ","date":"2026-03-18T00:00:00+08:00","image":"https://picr2.060216.xyz/61d7326672c442cda5073c00b3845d18.webp","permalink":"/p/hugo-standard-post/","title":"用 Hugo 写一篇标准文章"}]